p、p₁和p₃分别为点P、P₁和P₃的笛卡儿坐标；·表示向量的点积；×表示向量的叉积；|*|表示向量的模长。计算P₂PP₄和

p₁和p₃替换为p₂和p₄(为了计算上的便利，式(1)和式(2)中采用半径为1的单位球，下文中的式(3)—式(6)、式(9)—式(12)同样使用单位球进行计算)。

文献[25]利用互补比率均值，着重分析和比较了球面离散格网(而非地图投影)的质量。本文基于互补比率均值和球面大圆弧，适当地简化互补比率均值指标，同时提出一种不依赖于微分计算的面积变形指标(见1.2节)，并检验形状变形指标和面积变形指标对评价地图质量的有效性。

1.2 基于大圆弧的形状变形指标与面积变形指标

等角特征和等积特征是评估地图投影变形的两个独立的方面。本节将分别给出用于评估地图投影形状变形和面积变形的指标，关于两个指标的算例分析将在第2节中给出。

首先，本文针对文献[25]提出的小圆形状变形指标(式(1))进行简化，由式(3)给出球面大圆意义下的互补比率均值定义

(3)

式中，

P_i和P_j两点的球面大圆弧长；P_iP_j表示过P_i和P_j两点的单位切向量。点P₁到P₄的定义与小圆指标中的定义相同，大圆指标无须计算采样区域中心点的坐标，简化了计算过程。

大圆指标需要计算两个球面大圆弧长