为什么八刀93块？

原创 张新春 数学与思维 2016-10-02 22:35

经常接到老师们的电话，讨论一些小问题。现把手上有的一些问题陆续放到这，供大家参考。也特别盼望您能提出一些新的问题供我们讨论。您可以直接在后面的评论中提出问题。感 谢您的支持！

为什么8刀切成93块？

问题

切蛋糕，为什么8刀切成93块?

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讨论

切蛋糕，为什么8刀切出93块？

切蛋糕，一刀切成两块（显然），两刀切成四块（如图）

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三刀切成八块（在两刀基础上再横切一刀）。

但8刀能切出多少块呢?显然超过了一般人的想象力。需要说明的是，不要把这当成真的切蛋糕，现在这变成了一个数学问题：平面划分空间，8个平面最多把空间分成多少份。

解决这样的问题，通常是归纳，即先观察几个具体的，找到规律。在这里碰到了困难：具体的例不好找，上述三种情况是可以确定的，四刀切出来是个什么样，就不好想象了。若仅靠前面三个数据来归纳，很可能靠不住——也没法检验。

有些问题，单独解决起来困难，若把与之相关的一系列问题放到一起，有时会有意想不到的效果。平面划分空间，是个三维中的问题，若考虑二维平面上的相应问题，则为直线划分平面，若考虑一维直线上的问题，则为点划分直线。让我们把这几个问题放到一起。

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仔细观察上面的数据，不难发现其中似乎藏有一个规律。如上图所示。

想一想，这个规律是可以理解的。

比如，为什么3条线分可以把平面分成7块，这个7，正好相当于2条线把平面分成4块，再加上2个点把直线分成的份数呢？如下图。

两条红线把平面分成了四块，现在再添一条蓝线，蓝线与原来的红线都相交，得到两个交点，这两个交点把蓝色分成了三段，每一段都把原来的一个区域分成了两个，即每一段都使得区域增加了一个。这样，就增加了3个区域，得到7个区域。7=4 3就是这个道理。

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平面分空间的问题也是如此，只是需要多一点点想象力：两个平面把空间分成4块，现新增一个平面，这个会与原来的每个平面都相交，得两条交线，这两条交线就把这个新的平面分成了4块，而每一块都把原来的一个区域变成两个，新增一个。于是，新增的区域数就等于新平面被分成的份数。8=4 4。

继续这样写下去。8刀真是将空间分成了93份。

若需要通项公式，也不太难。这里从略。有兴趣的您，可以自己研究研究。

读后感

伏尔泰说过，阿基米德比荷马更富于想象力。研究数学也需要想象力。最高级的想象力是不自由的，是有约束的。

把表格继续填充，就能够得到答案。

数量 点分线 线分面 面分体

1 2 2 2

2 3 4 4

3 4 7 8

4 5 11 15

5 6 16 26

6 7 22 42

7 8 29 64

8 9 37 93

所以，8刀最多能够把蛋糕切成93块。