一．概念描述

现代数学：由一个矩形绕其一边旋转一周而成的几何体称为直圆柱或正圆柱，简称圆柱。如下图，

OO’叫作圆柱的旋转轴（简称轴）；矩形中垂直于轴的边OA和O’A’旋转而成的圆面称为圆柱的底面；两个底面间的距离是圆柱的高；矩形中平行于轴的边AA’旋转而成的圆柱面称为圆柱的侧面；侧面上平行于AA’的线段都叫作圆柱的母线。

小学数学：小学数学教材没有直接定义圆柱，主要是通过几何图形建立圆柱的表象，从圆柱的特征把握圆柱。

二．概念解读

(1)圆柱的认识历程

人类在圆柱的研究历程中主要有以下三个重要的标志：

①古希腊时期，阿基米德在《球和圆柱》中阐述了他对圆柱侧面积的研究结果：任何直圆柱曲面的面积，等于一个圆的面积，这个圆的半径是圆柱的高和底面直径之间的比例中项即，r的平方=hd。

②公元500年左右，祖暅（祖冲之之子）在《缀术》中这样记载“幂势既同，则积不容异”，被后人称之为“祖暅原理”。 这也就是“等积原理”，意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

③16世纪下半叶，德国科学家开普勒在《酒桶的新立体几何》中将酒桶看成由无数的圆薄片累计而成，进而求其体积，这是积分学的萌芽

(2)圆柱的主要特征

圆柱主要有以下特征。

①圆柱的两个底面是相等的圆，它们所在的平面平行。

②圆柱的母线互相平行，且都等于圆柱的高，都垂直于圆柱的两个底面。

③圆柱的轴过两底面的圆心，并且垂直于两底面，它的长等于圆柱的高。

④圆柱的轴截面是一个矩形，它的一组对边是圆柱的两条母线，另一组对边是圆柱底面圆的直径。

⑤平行于底面的截面是与底面相等的圆。

⑥圆柱的侧面可以展开在一个平面上。

三．教学建议

(1)圆柱的教学线索

圆柱的教学可以从以下三条主线和七个维度来组织教学。

(2)圆柱的教学建没

①动静结合，充分认识圆柱特征。

认识圆柱的教学重点是通过圆柱的特征把握圆柱。教学中可以先通过观看旋转门的运动、触摸茶叶桶的各面、测量吸管的长度和直径等活动，丰富学生的感性经验；在在此基础上，由实物抽象出几何图形，建立圆柱的表象，认识圆柱各部分的名称、利用牙签与牙签盒支撑学生建立“高有无数条”的认识。再引导学生“选择合适的学具，思考用什么方法可以得到圆柱”来构造圆柱。然后对比分析“选择图形的长，、宽或底、高与圆柱有什么关系？”，从而在巩同圆柱特征的同时沟通知识间的联系，积累“面动成体”的活动经验。最后通过切截、展开、粘贴等活动，从三维到二维再到三维的相互转换，提高学生对圆柱的特征理解，发展学生的空间想象力。

②化曲面为平而，寻找对应奖系。

在对圆柱表面积的学习中，从把纸质圆柱展开的过程中，学生经历了把曲面展开使其在同一平面的事实，这是学生今后学习旋转曲面的宝贵经验。展开图形后让学生做什么尤为重要，如组织学生对比、分析、说明展开的三个平面图形之间的对应关系、三个平面图形与圆柱的对应关系。这是发展学生空间想象力的基础，是解决圆柱表面积问题的基础。将圆柱展开后出现的三个平面图形摆一摆、试一试（如下图），再做一个同样的圆柱，需要的长方形纸张的长和宽最小是多少？这样就完成了从三维到二维，再回到三维的一次有趣有味的过程。

③拉长圆柱体积的探索过程，给学生创新的机遇。

通过分割把圆柱的体积转化成学过图形的体积，是教学圆柱体积的主要学习路径。在这个过程中，学生已有活动经验：圆面积的探索过程中的转化、棱柱的体积，以及生活经验——纸袋里的薯条（圆柱与棱柱）、切黄瓜等，都有可能引发学生创造性地解决问题。因此，教师应给予学生适当时间和充分的学具准备，舍得拉长教学过程，让师生的智慧碰撞出火花。

四．推荐阅读

(1)《国际视野下的小学数学教育》（郑毓信，人民教育出版社，2004）

该书第93-97页介绍了荷兰数学教育家范·希尔夫妇提出的学生几何思维发展的五个水平和在教师的引导下通过五个阶段达到的各个新的水平。

(2)《小学数学》（吴正宪、张丹，华东师范大学出版社，2008）

该书第50、第51页强调教师应鼓励学生把静态与动态结合起来，在运动变化中认识图形。第60页则指出探索面积、体积的公式和应用的多层面价值。