一个戴德金分割将有理数分成两个集合A和B，使A的所有元素都小于B的所有元素，且A不包含最大元素（开集）。集合B在有理数中可能有最小的元素，也可能没有。如果B有一个最小的元素，则分割对应于该有理数。否则，这个分割定义了一个唯一的无理数。换句话说，A包含了小于分割的所有有理数，B包含了大于或等于分割的所有有理数。分割处等于两个集合中都不存在的无理数。每个实数都等于一个且只有一个有理数。

这样，每个分割确实定义了一个无理数。从无理数的真正性质去看，在建立一个无理数理论之前，有必要先彻底理解数学上的无穷。在戴德金的分割定义中明显地需要无穷类，而这样的类将导致严重的逻辑困难。

数学家对这些困难是否影响到数学的前后一贯的发展有不同的看法。没有一个前后一贯的数学无穷理论，就没有无理数理论；没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的任何形式的数学分析；最后，如果没有分析，那么像现在存在的大部分数学（包括几何和大部分应用数学），也就不复存在。

因此，数学家们所面临的最重要的任务，看来是构造一个令人满意的无穷理论。康托尔尝试了这件事，并取得了极大的成功。

代数数

戴德金对“数”的概念作出的另一个突出贡献是在代数数方面。对于所论基本问题的性质，我们必须提到代数数域和代数整数分解成素因子。这个问题的关键在于，在一些这样的域中分解成的素因子不像在普通算术中那样是唯一的。戴德金通过创立他称为“理想”的东西，恢复了他希望得到的“唯一性”。一个理想不是一个数，而是一个数的无穷类，所以戴德金又回到了“无穷”中以克服他的困难。

理想这个概念是不难领会的，虽然有悖于常识，但常识总是要受到冲击的。一个理想必须至少做两件事∶它必须实际上让普通的（有理）算术任其自然；它必须迫使代数整数遵守算术的基本定律（唯一地分解成素数）。

包含得较多的类整除包含得较少的类，这一点涉及下面的现象（以及它的推广）。考虑2整除4这一事实。代替这个明显的事实（如果进入代数数域，它什么也得不出），我们用所有2的整数倍数的类代替2。为方便起见，我们用（2）来表示这个类。同样，用（4）表示4的所有整数倍数的类。现在很明显，（2）是包含得更多的类；事实上（2）包含（4）中所有的数。（2）包含（4）这一事实用符号来表示，写成

很容易就能看出，如果m，n是任意普通整数，那么当且仅当m整除n时，有

这提醒我们，普通算术可除性的概念可以由（刚刚叙述的）类包含的概念来代替，但是如果这样代替不能保持算术可除性特有的性质，那么它就是无益的。可以详细说明它确实保持了这些性质，这里仅举一个例子。如果m整除n，n整除l，那么m整除l。例如，12整除24，24整除72，12确实整除72。像上面那样转换到类，这就成为∶如果类（m）包含类（n），且如果类（n）包含类（l），那么类（m）包含类（l）。结果是，当我们加上“乘法”的定义∶（m）×（n）定义为类（mn），如（2）×（6）=（12）时，数用它们相应的类来代替，就做到了所需要的事。注意，上述乘法是定义，并不意味着可以从（m）和（n）的意义中得出。

戴德金对于代数数的理想是上述内容的推广。戴德金给出了一个抽象的定义，一个基于本质属性的定义，而不是基于表示或描述被定义事物的特定模式而下的定义。

考虑一个给定代数数域中的所有代数整数的集合（或类）。在这个包含一切的集中有一些子集。一个子集若有下面两个性质则被称为一个理想。

1. 子集中任意两个整数的和与差仍在该子集中。
2. 如果子集中的任何整数由在全包含集中的任何整数去乘，所得的整数仍在该子集中。

这样，一个理想是整数的一个无穷类。可以很容易看出，根据理想的定义，前面所定义的（m），（n），…，都是理想。如果一个理想包含另一个理想，就说第一个理想整除第二个。

可以证明每一个理想都是形为