一、怎么理解积分这个概念？

开门见山，“积分”中的分字，就是微分、微小之意；积就是累积、加起来。顾名思义，积分就是把无穷多个无穷小累加起来合成一个整体。

对于微积分的理解、感悟，友友在《让你从根本上理解：微积分到底是什么?》一文中的留言评价有的非常好，读了让人受益匪浅、思路大开、体会深刻。现摘录几个共大家欣赏、感受、体会（我只是搬运，不代表我的观点哈）。

友友1：微分——用锉刀锉金属；积分——把锉碎的金属拢到一起。

友友2：微积分就是捭阖之术，既无限制地分下去，又可以阖一起。

友友3：微分研究函数局部细节，积分注重整体结果；做人何尝不是这样，持续努力，持续优化改进的人，结果一定也会比较好。

友友4：微积分是研究变化的科学，没有变化就不用微积分。导数是变化规律，无穷小是变化的趋势。积分是变化的累积。微积分是唯物辩证法的数学表现。

二、举例说明什么是微积分

1、初中阶段学过有关速度的公式

用符号表示，有

设想：你在操场上沿跑道跑步，跑了30秒，从100米处跑到了300米处，跑的距离是200米，那么你跑的平均速度约是6.67（米/秒）。

假设：你用大约6.67（米/秒）的速度匀速跑了30秒，则你跑的距离是

S=Vt=6.67Χ30=200（米）

实际情况：一般人跑步不可能一直是用平均速度匀速跑的，总会忽快忽慢，甚至会停下来喘口气。

问题：对于实际情况，跑的距离又该如何计算呢？

2、微积分的基础就是把整体进行分割，然后再求和得到整体

实际情况中，跑步速度随时间一直在变化不定，即速度是时间的函数：V=V(t)，很明显，此时公式1不再适用。

不过，我们可以想办法继续使用公式1。

设跑步从时刻t1开始，到时刻t2停止，从x1处跑到了x2处。

为了使用公式1，可以把从t1到t2时间段分割成n个很小的有限小时间间隔：Δt1, Δt2, Δt3, ……, Δtn。

在每一个有限小时间间隔内，可以近似认为跑步是匀速的，其速度标记为V1, V2, V3, ……, Vn。

这样，在每个有限小时间间隔内，公式1仍然可以使用。对第i个有限小时间间隔Δti，其速度为Vi，字母i表示从1到n任意一个数字。则跑过的距离为

ΔSi≈ViΔti

跑过的总距离，是每个时间间隔内跑过的距离累加起来之和：

S≈ΔS1 ΔS2 …… ΔSi …… ΔSn

=V1Δt1 V2Δt2 …… ViΔti …… VnΔtn

上式中的符号Σ是希腊字母，读作：西格玛，表示对后面内容求和的意思。

3、定积分

为了尽量减小近似计算带来的误差，很显然，分割出来的有限小时间间隔Δt越小越好，也即分割出来的Δt数量n越大越好。

越小越好的极限就是有限小变成无限小，无限小趋于0；n越大越好的极限就是n趋于无穷大∞。

当时间间隔Δt由有限小变成无限小时，我们知道公式2中的符号Δ应该换写成d；那么求和号Σ也不能原样不动，需要换个符号表示。

“求和”一词在英文中的词汇是sum，那么就把sum第一个字母S变形，写成ʃ的样子，表示对无穷多个无穷小求和的符号，称为积分号。

那么，公式2就可以改写成