线性代数(高等代数)是进入大学之后学习代数的起点，和数学分析，解析几何并称数学三大基础课。需要注意的是，一般理工科学的是线性代数，数学系学的是高等代数，高等代数相比于线性代数，除了内容上增加了多项式以外，难度和深度也有增加。当然，高等数学和数学分析所学的内容也有所区别，这里就不再赘述。以如今的数学观点来看，线性代数几乎无处不在，它的概念与方法已经渗透到和数学相关的方方面面，这也正是为什么线性代数如此重要的原因。

线性代数的课程内容基本上可以划分为矩阵、线性空间，线性变换三大部分，每个部分里还又可以分成若干小部分。当热，线性变换无疑是线性代数的核心内容，而对线性变化的研究又可以转化为对矩阵的研究，如此看来，“矩阵”应当说是线性代数最核心的概念。而行列式又紧密着矩阵，因此行列式的重要性自然也不言而喻。今天我们就简单地分析一下行列式和矩阵的一些浅显性质和意义，限于篇幅和学识，就不过多的展开。

线性代数比较传统的讲法都是从解线性多元方程组开始，因为这样可以自然地引出行列式和矩阵的概念。从数学的历史发展来看，虽然行列式和矩阵看起来“非常相似”，但对行列式的研究早于矩阵。行列式的概念来源于日本的关孝和，而差不多一百年后才由克拉默正式提出了利用行列式解线性方程组的方法，也就是我们熟知的克拉默法则。

行列式的原始定义来源于解n×n型线性方程组，也就是把n×n个系数拿出来进行行列式运算。以完全数学的观点来看，行列式是一个关于列的多重反对称线性函数，至于怎么去具体定义以及行列式的各种性质，这里不再赘述。

特别要提到的是，行列式的性质与线性方程组的性质高度相关，我们都知道解线性方程组有著名的高斯消元法，也就是不断地把前面的方程乘以一个常数加到后面方程中去，这样就可以逐渐减少后面方程的未知数个数直到不能减少为止，然后通过解这个未知数最少的方程来逐渐解整个方程组。这里可能会出现行列式为0的情形，也就是至少某两个方程是等价的，而等价就是说进行高斯消元后其中一个是另一个的倍数，这样的后果就是方程组的解不唯一，解将由一个或多个参数表达出来。粗略的说，解如果要唯一，那么不等价方程的个数就要等于未知数的个数，这也就是求行列式的价值所在，它恰是判断这一结果的标准。

行列式只能定义为n×n的形式，因为它最早就是用来研究n×n型线性方程组的。关于这样的线性方程组，著名的克拉默法则指出，如果一个线性方程组的系数行列式不为0，那么它有唯一解并且可以用行列式表达出来。那么一个自然的问题是，如果一个线性方程组的方程个数和未知数个数不一样怎么办？这也就引出了矩阵的概念。但需要注意的是，矩阵并不是行列式的推广，行列式是一种运算，而矩阵则是一个数学结构，或者说研究的对象。

类似于行列式中的形式，我们把方程组的系数拿出来构成一个所谓的系数矩阵，而把未知数和常数项分别拿出来构成一个列向量，再把系数和常数项重新组合成一个增广矩阵。