相信不少人都听说过著名的“鸡兔同笼”问题，对无忧无虑的小学生来说，心理阴影不至于，但绝对是个巨大的挑战。问题是这样的：在一个笼子里，有鸡和兔子两种动物，两种动物脑袋共35个，脚一共94只，那么鸡和兔子分别各多少只呢？

当然啦，题目中的鸡和兔子都是正常的，没有残疾，也没有三头六臂。基于此，老老实实的考虑怎么才能算出答案呢？

《孙子算经》的解法

事实上，这个问题最早出现于《孙子算经》，并给出了一个解法：

• 所有动物的脚数除以2，得47；每只鸡有一对脚，兔子有两对脚。
• 假设笼子里全部是鸡的话，脑袋35个，脚也应该是35对，而事实上有47对脚。
• 如果把一只鸡换成一只兔子的话，47-35=12，说明需要12只鸡被替换为兔子，于是得到兔子的数目。
• 鸡的数目自然就是35-12=23只了。

对于上面的解法，理解起来也并不那么轻松，尤其对于小学生来说。我估计很多人在看完这个答案的时候，心里暗暗的佩服：这个解法真“孙子”！

有趣的算法

如果说一声令下，让每只鸡都金鸡独立，每只兔子也双脚站立卖萌。此时着地的脚一共是47只，而脑袋是35个；其中一只鸡头对应一个脑袋，一个兔头对应两只脚；那么脚的数量减去头的数量就是兔子的个数啦，兔子数目知道了，鸡的数量自然也就知道了；因此兔子12只，鸡23只。

有人质疑一声令下，说假如能让鸡单脚着地的话，为什么不直接让鸡报数？好啦，做人要厚道，这个问题就留给我们敬爱的、伟大的生物学家吧！事情不能做绝，也得给别人一碗饭吃。

然而，无论是《孙子算经》的算法，还是能和小动物沟通，都是结合了这个具体的背景，给出了具体的解法。假如说笼子里放几只蜈蚣的话，还像上面的算法那么算的话，估计谁算谁骂街。数学的使命，就是抛开具体事物，只研究其数量关系，找到通用的、一般的算法。

机械地尝试

如果我把题目改一下：在一个笼子里，关着鸡和兔子，两种动物的的脑袋一共是2个，脚一共是6个，问鸡和兔子分别有几只？

我相信很多人一瞬间，就得到答案了。那么如果改成一共3个头，8只脚呢？应该也会有比较多的小学生能得到答案。而这个思维过程其实很简单：尝试！如果笼子里小动物的数量少，试一两次就得到答案啦；如果数量大了，懒惰的我们就忽略了这种算法。

仍然考虑原问题中的笼子，通过尝试的方法，毫无疑问是要尝试更多次的：

• 假如是1只鸡，34只兔子，那么脚一共是1×2 34×4=138>94，不对；
• 假如是2只鸡，33只兔子，那么脚一共是2×2 33×4=136>94，不对；
• 假如是3只鸡，32只兔子，那么脚一共是3×2 32×4=134>94，不对；
• ……

这样一直试到23只鸡，12只兔子，问题得到解决啦；当然，如果从假设1只兔子开始，尝试的次数要少的多。如果说，在上面尝试的过程中，敏锐法察觉到脚的数量是在递减，你可能就会去跳跃的尝试，比如尝试完5只鸡，直接尝试10只鸡……，如此会更快的获得答案。

有些人会不屑，这种算法也叫算法么，我都没抖抖机灵。没错儿，这种算法比上面的两种算法更具一般性，无论笼子里关的是什么小动物都可以这样计算；当然了，这种方法很机械，而且随着笼子里动物数量增多，计算量也在迅速增大。

如果原问题中的笼子有67个，把这67个笼子中的鸡和兔子都放到一个大笼子里，就得到：鸡和兔子的脑袋一共2345个，脚6298只，那么鸡和兔子分别有多少只呢？

此时“尝试”的算法依然奏效，但是计算量就明显增加。面对机械的计算，有没有什么好办法呢？有！善良实在的计算机就登场了，它可以毫无怨言的按照“尝试”的算法，快速计算出鸡和兔子的数量。当然这个机械式的“尝试”算法可以做改进，这是另外一个话题。

方程

问题到此还远没结束呢。再如果把笼子换成农场，农场里除了鸡和兔子，还有鸭子、大鹅、肥猪、羔羊……，同样考虑求每种牲畜的数量问题，即便是动物总数量不算大，问题显然是更复杂了。那么，有没有更一般的方法，能解决这类问题。这就是方程或方程组的意义啦！

对于鸡兔同笼问题，转化为二元一次方程组，问题转化为求解方程组的问题，而不需要再考虑笼子里是鸡还是狗。

有了方程的解法，我们自然不会再采用上面那些具体的、烧脑的算法，包括机械的尝试算法。即使是计算机，也不该放着更高效的算法不用呀！当然计算量很大、机械的原始算法，可能不适合真正用于实际，但其逻辑的合理性，用于逻辑论证是毫无问题的！