罗巴切夫斯基建立的非欧几何——罗氏几何，就是所谓的双曲几何。

罗巴切夫斯基

当我们由之开始的定义不再有意义的时候，我们就不应当再问它是什么，而应该问，如何做出合适的假设，使它继续有意义。——高斯

紧接着是数学家黎曼，作为高斯的学生，他提出了与欧氏几何根本不同的假设：给定一条直线，通过此直线外的P点没有平行线，任何两条直线相交于两点，三角形内角之和大于180°。

黎曼

黎曼提出的关于空间可以是无界的而不是无限的非欧几何——黎曼几何，就是现在的双椭圆几何。