特殊三角函数性质

特殊三角函数是性质特殊的一类三角函数的总称，主要包括正弦三角函数、余弦三角函数、正切三角函数、余切三角函数、正割三角函数、和余割三角函数。

特殊三角函数值：特殊三角函数值一般指在0，30°，45°，60°，90°，180°角下的正余弦值。这些角度的三角函数值是经常用到的。并且利用两角和与差的三角函数公式，可以求出一些其他角度的三角函数值。

特殊三角函数值公式

α=0° sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞

α=15°(π/12) sinα=(√6-√2)/4 cosα=(√6 √2)/4

tαnα=2-√3 cotα=2 √3 secα=√6-√2 cscα=√6 √2

α=22.5°(π/8) sinα=√(2-√2)/2 cosα=√(2 √2)/2

tαnα=√2-1 cotα=√2 1 secα=√(4-2√2) cscα=√(4 2√2)

a=30°(π/6) sinα=1/2 cosα=√3/2 tαnα=√3/3 cotα=√3 secα=2√3/3 cscα=2

α=45°(π/4) sinα=√2/2 cosα=√2/2 tαnα=1 cotα=1 secα=√2 cscα=√2

α=60°(π/3) sinα=√3/2 cosα=1/2 tαnα=√3 cotα=√3/3 secα=2 cscα=2√3/3

α=67.5°(3π/8) sinα=√(2 √2)/2 cosα=√(2-√2)/2

tαnα=√2 1 cotα=√2-1 secα=√(4 2√2) cscα=√(4-2√2)

α=75°(5π/12) sinα=(√6 √2)/4 cosα=(√6-√2)/4

tαnα=2 √3 cotα=2-√3 secα=√6 √2 cscα=√6-√2

α=90°(π/2) sinα=1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=1

α=180°(π) sinα=0 cosα=-1 tαnα=0 cotα→∞ secα=-1 cscα→∞

α=270°(3π/2) sinα=-1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=-1

α=360°(2π) sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞

特殊三角函数相关公式

sin(a b)=sin a cos b cos a sin b

cos(a b)=cos a cos b -sin a sin b

sin(a-b)=sin a cos b -cos a sin b

cos(a-b)=cos a cos b sin a sin b

tan(a b)=(tan a tan b )/(1-tan a tan b )

tan(a-b)=(tan a -tan b )/(1 tan a tan b )

三角函数辅助角公式

辅助角公式是一种高等三角函数公式

使用代数式表达为

asinx bcosx=√(a² b²)sin[x \arctan(b/a)]（a>0）

虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。

设要证明的公式为

asinA bcosA=√(a^2 b^2)sin(A M) (tanM=b/a)

以下是证明过程：

设asinA bcosA=xsin(A M)

∴asinA bcosA=x((a/x)sinA (b/x)cosA)

由题,（a/x)^2 (b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x

∴x=√(a^2 b^2)

∴asinA bcosA=√(a^2 b^2)sin(A M) ,tanM=sinM/cosM=b/a

辅助角公式推导过程

三角函数辅助角公式推导：

asinx bcosx=√(a² b²)[asinx/√(a² b²) bcosx/√(a² b²)]

令a/√(a² b²)=cosφ，b/√(a² b²)=sinφ

asinx bcosx=√(a² b²)(sinxcosφ cosxsinφ)=√(a² b²)sin(x φ)

其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同

简单例题：

（1）化简5sina-12cosa

5sina-12cosa

=13(5/13sina-12/13cosa)

=13(cosbsina-sinbcosa)

=13sin(a-b)

其中，cosb=5/13,sinb=12/13

（2）π/6<=a<=π/4 ,求sin²a 2sinacosa 3cos²a的最小值

令f(a)

=sin²a 2sinacosa 3cos²a

=1 sin2a 2cos²a

1 sin2a (1 cos2a)(降次公式)

=2 (sin2a cos2a)

=2 根号2sin(2a π/4)(辅助角公式)

因为7π/12<=2a π/4<=3π/4

所以f(a)min=f(3π/4)=2 (根号2)sin(3π/4)=3