二次函数图象的平移变换就是将二次函数的图象向某个方向平行移动。根据平移变换确定函数关系式问题是一种重要的题型，在中考试题中时常出现，解决此类问题的关键是先把二次函数的关系式化为顶点式y = a(x-h)^²k (a≠0) 的形式，然后根据平移的特征确定 a、h、k 的变与不变。

平移抛物线 y=a(x-h)^²k，不变的是决定抛物线的形状和开口的a，变化的是决定抛物线位置的顶点坐标（h,k）。

一、上下平移

当抛物线 y=a(x-h)^²k 向上平移 m（m>0）个单位后,

所得的抛物线的关系式为 y=a(x-h)^²k m ;

当抛物线 y=a(x-h)^²k 向下平移 m ( m>0 ) 个单位后,

所得的抛物线的关系式为 y=a(x-h)^²k-m 。

二、左右平移

当抛物线 y=a(x-h)^²k 向左平移 n (n>0) 个单位后 ,

所得的抛物线的关系式为 y= a(x-h n)^²k;

当抛物线y=a(x-h)^²k 向右平移 n (n>0) 个单位后,

所得抛物线的关系式为 y=a(x-h-n)^²k 。

注：在具体的题目中可能包含两种平移,需要灵活分析平移的特点,根据平移的方式分步确定函数关系式。

三、典型例题

例题1、二次函数 y=x^²的图象向右平移 3 个单位，得到新的图象的函数表达式是(D)

例题2、将抛物 y = -(x-1)^2 向左平移 1个单位后，得到的抛物线的关系式是．

分析:

所给的抛物线的关系式已经是顶点式的形式,所以只要根据平移的平移规律代入计算即可。

解:

因为抛物线y=-(x-1)^²向作平移1个单位,根据上面的平移规律可得平移后所得函数的关系式为y=-(x-1 1)^², 即 y=x^²。

例3、将抛物线 y=x^²向左平移 4 个单位后，再向下平移 2 个单位，则此时抛物线的关系式 是．

分析:

本题的平移包括两次平移,可以根据平移的先后顺序以及平移的变化规律,逐步确定平移后的函数关系式。

解:

抛物线 y=x^²向左平移 4 个单位后得到的抛物线的关系式为 y=(x 4)^²;

将抛物线 y=(x 4)^²向下平移 2 个单位后,所得抛物线的关系式为 y=(x 4)^²-2 。

也可以写成 y=x^²8x 14。

例4、已知 y = 2x^2 的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x 轴，y 轴分别向上、向右平移 2个单位，那么在新坐标系下抛物线的关系式是（B）

分析:

本题是一道逆向思维问题,把 x 轴，y 轴分别向上、向右平移 2 个单位,可以理解为把抛物线先向左平移 2 个单位,然后再向下平移 2 个单位。

由此比较容易确定平移后的抛物线的关系式。

解:抛物线y=2x^²向左平移 2 个单位后所得的抛物线的关系式为 y=2(x 2)^²,

把 y=2(x 2)^²向下平移 2 个单位后的关系式为 y=2(x 2)^²-2 。

例题5、将抛物线

先向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度,所得抛物线关系式为_______。

分析:

本题所告诉的函数关系式不是顶点式的形式,所以应先将函数关系式化为顶点式的形式,然后再根据平移规律确定平移后所得的函数关系式。

解:

所以向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度后的所得的函数关系式应为