先来看一个简单有趣的故事。

有100盏灯都是关着的。第1个人路过，把每盏灯的拉线开关都拉一下，使每盏灯都亮了；第2个人路过，把标号为2的倍数的灯都拉一下；第3个人路过，把标号是3的倍数的灯都拉一下；……第100个人路过，把标号为100的倍数的灯拉一下。

问：最后哪几盏灯是亮着的？

直接试不是不行，就是头容易晕。

我们可以反过来看。

标号为1的灯，其实只有第1个路人拉一下，所以它是亮的。

标号为2的灯，路人1和路人2都拉一下，别人再也拉不着了，所以它是关的。

标号为3的灯，路人1和路人3拉一下，所以它是关的。

标号为4的灯，路人1、2、4各拉一下，所以它是亮的。

标号为5的灯，路人1，5各拉一下，是关的。

标号为6的灯，路人1，2，3，6各拉一下，是关的

路灯7，路人1，7各拉一下，是关的

……

数学佬找到规律了！

对于路灯n，只要知道它的因子有多少个，如果是偶数个，就是关的，如果是奇数个，就是亮的。

那么自然数n的因子有多少个呢，偶数还是奇数？

有一个很明显的性质

因此

换句话说

好，问题解决了。

标号为平方数的灯：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，它们的因数个数是奇数，所以最后是亮的，其余的灯最后是关的。

我们可以将

显然，完全平方数有一组共轭因数相等，我们也可以称之为自共轭因数。

如果n有自共轭因数，则这个数一定是完全平方数

例、求12的所有因数的积

我们当然可以穷举，不复杂。

12的因数有1，2，3，4，6，12，因此它的因数积就是1×2×3×4×6×12=1728

我们也可以这样算：将12的6个因数分成三组，1×12=2×6=3×4=12

因此，它的因数积就是12×12×12

那么，更大一些的数，比如123456的因数积是多少呢？

我们可以将123456分解得

因此123456的因数个数为7×2×2=28个，

共轭因数有14对，每一对的积都是123456

因此123456的因数积就是

哦，亲爱的，你知道为什么123456的因数个数是28吗？