大家好!本文和大家分享一下这道1953年高考数学压轴题。1953年高考数学的题型设置为五道大题,其中第一大题包含了10道小题,第三大题包含了2道小题,全卷总共只有15道小题。不过,这15道小题全部是解答题,没有了1952年高考的填空题,也没有现在常见的选择题,这无疑也增加了一定的难度。
不过,在现在的学生眼中,当年的高考题整体来说还是非常简单的,很多都是现在初中的知识。当年数学试卷的压轴题考查的是三角形内角和定理、边角关系、正弦定理及三角形面积公式,如今的高中生看过题后都说是送分题。下面我们一起来看一下这道压轴题。
本题求的最小边的边长和三角形的面积,首先来看求最小边的边长。
要求边的长度,那么首先需要确定是哪条边才是最小边,这时就需要用到边角关系,即“大角对大边,小角对小边”。题目明确告诉了三角形两内角的度数,那么用三角形内角和定理就可以求出第三个内角的度数,从而确定角的大小,再确定边的大小。
为了方便书写,我们假设∠A=45°,∠B=60°,其夹边AB=1尺。由三角形内角和定理可得,∠C=75°,所以∠A所对的边BC就是最小边。接下来怎么求BC的长度呢?
我们分析一下已知条件,三个内角已经知道了,还知道∠C的对边AB的长度,而求的是∠A的对边BC的长度,这就构成了“两边两角,且是对角对边”的情况,那么此时就可以用正弦定理求解。
由正弦定理BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC可得:BC=(sinA/sinC)·AB=(sin45°/sin75°)×1。代入数值即可求出BC的值。
有同学说sin75°的值记不住。其实,75°的正余弦值如果能够记住当然更好,在解题过程中可以直接用,如果记不住也没有关系,可以有两个简单方法求出来。一是用两角和的正余弦公式,以正弦为例:sin75°=sin(30° 45°)=sin30°cos45° cos30°sin45°;二是构造一个75°角的直角三角形进行求解。
最后来求三角形的面积。此时我们已经知道了三角形的两条边和三个内角的度数,所以可以用两边之积乘以它们夹角正弦值再除以2的面积公式求解。即S=AB·BCsinB/2=1×(√3-1)×√3/2/2=(3-√3)/4平方尺。
这道压轴题考查的是最基础的解三角形的相关知识,对于现在的高中生来说难度确实不大,你觉得呢?