例4（北京大学自主招生试题）最多能找到多少个两两不相等的正整数，使其中任意三个数的和为质数？说明你的理由.

解析：因要求使其中任意三个数的和都是质数，故可将正整数按模3分类：3k，3k 1，3k 2，k为正整数，由此展开讨论。

若三类数各取一个：3a，3b 1，3c 2，则3a 3b 1 3c 2=3（a b c 1），这三个数的和不是质数，故三类数中至多可以取到两类。

另外，若某一类数3k i（i=0，1，2）至少取到3个：30 i，3b i，3c （i=

0，1，2），则3a i 3b i 3c i=3（a b c i）（i=0，1，2），这三个数的和不是质数，故每类数中至多只能取2个.

综上所述，至多有2×2=4个两两不等的正整数，使得任意三个数的和都是质数，例如1，3，7，9.

质数为何与众不同？为什么要研究质数？

寻找最大质数，犹如物理学家寻找更小的基本粒子，天文学家在不断追寻不为人知的星体.这种单纯为满足求知欲的好奇心，正是人类突破知识领域的动力。今天，人们已认识到：互联网交易的安全性（强大的密码系统）是建立在"分解出大整数的约数（质数）是极其困难的问题"这一基础上的。

素数是人类追寻知识过程中最无奈的谜题，怎样才能预测下一个素数？有何公式可以生成素数？在素数表面的噪音之下潜藏着意料之外的和谐.1859年，德国数学家黎曼提出一个关于这首"神秘乐曲"的大胆预言，这个预言的答案将在电子商务、量子力学和计算机科学等领城产生革命性的影响。

2013年4月17日，张益唐在《数学年刊》上投稿证明了"存在无数多个质数对（p，g），其中每一对中的质数之差，即p和g的距离不超过七千万"

令人遗憾的是，尽管人类早在2500多年前就发现了质数，但时至今日仍未能完全揭开笼罩在质数上的神秘面纱.欧拉曾感叹："世界上有许多人类智慧无法解释的奥秘，看一眼质数表就会发现，它是如此毫无秩序，毫无规则可言。"

张益唐，1955年生于上海，1978年考入北京大学数学系。

他的证明在推动解决孪生素数猜想的道路上迈出了一大步，分别获得瑞典2014年度罗夫·肖克奖、美国麦克阿瑟天才奖。"我的心很平静，我不大关心金钱和荣誉，我喜欢静下来做自己想做的事情。"