进入电子时代,开n次方也只需一按了之。但在上世纪80、90年代以前,没计算器,在野外测绘过程中常用手开或查平方根表。精度要求不高时也用估值法。介绍如下:
一、公式估值
原理:
(a b)²=a² 2ab b²
当b²远小于a²时,忽略b²
(a b)²≈a² 2ab
b≈[(a b)²-a²]/2a
例:√1234=
35<√1234<36
取a=35,
b≈(1234-1225)/70
=9/70=0.128571
√1234≈35.128571
再如求√87
9<√87<9.5
取a=9.3
b≈(87-86.49)/18.6
=0.51/18.6=0.0274
√87≈9.3 0.0274
=9.3274
二、递归法
原理
在方法一中
√s≈a b
=a [(a b)²-a²]/2a
令[(a b)²-a²]=k
√s=a k/2a ①
a=√s-k/2a
√s=a k/(√s-k/2a)
再把√s=a k/2a代入,反复迭代,可求出:
√s≈a k/{2a [k/(2a k/2a)…]}
一般用2到3重就足够用了
√1234=35 9/{70 [9/(70 9/70)…]}
=35.1285
由上可以看出:两种方法原理虽然不完全相同,但都有一个共同要求,就是a²的取值要尽量接近被开方数,否则需要再次计算。
例:√591
∵20<√599<25
取a=23
b≈(599-529)/46
=70/46≈1.5
显然b值过大
试取a=23 1.5=24.5
24.5²=600.25,已非常接近√599
此时
b≈(599-600.25)/49
=-1.25/49=-0.026
√594≈24.5-0.026
=24.474