五年级重点内容，公因数的学习需要在整除的基础上进行学习，首先得知道什么是因数，a数能被b数整除，那么b就是a的因数。

几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。我们可以把自然数a，b的最大公因数记作(a，b)，如果(a，b)＝1，则a和b互质。可以用短除法求出几个数的最大公因数。短除法估计大家都会用，我就不再重复了。下面看几个巧用公因数的常见题目。

难题点拨

把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸裁成相同的正方形纸片(纸没有剩余)，至少能裁成多少片?

解题分析：这个题目是最典型的一个公因数题目，要求裁的片数最少，那么每片小正方形的边长就得最大，很显然是求最大公因数的。读题，把长12厘米、宽8厘米的长方形纸裁成相同的正方形纸片，要求纸没有剩余，那么裁成的小正方形纸片的边长应该是12厘米和8厘米的公因数，因为要求至少裁成多少片，所以小正方形纸片的边长应该是12厘米和8厘米的最大公因数。

12和8的最大公因数是2×2＝4，所以裁成的小正方形纸片的边长是4厘米。

沿着长方形纸的长可以裁成:12÷4＝3(片)

沿着长方形纸的宽可以栽成:8÷4＝2(片

这张长方形纸一共可以裁成:3×2＝6(片)

答：至少能裁成6片。

难题点拨

将一个长105厘米、宽45厘米、高30厘米的长方体木料，锯成同样大小的小正方体，如果不计损耗，锯完后木料不许有剩余，锯成的小正方体木块的棱长是大于1厘米的自然数。可以有几种不同的锯法?每种锯法中小正方体的棱长是多少?分别可以锯成多少块?

解题分析：分析题目中的条件，我们可以知道，锯成的小正方体木料的棱长应该是长方体木料长、宽、高的公因数(除1以外)。

105，45和30除1以外的公因数有5，3和3×5＝15。

因此，可以有三种不同的锯法：

锯成的小正方体木料的棱长是5厘米，可以锯成(105÷5)×(45÷5)×(30÷5)＝1134(块)

锯成的小正方体木料的棱长是3厘米，可以锯成(105÷3)×(45÷3)×(30÷3)＝5250(块)

锯成的小正方体的棱长是5×3＝15(厘米)，可以锯成(105÷15)×(45÷15)×(30÷15)＝42(块)

答:可以有三种不同的锯法。锯成的小正方体的棱长是5厘米，可以锯成1134块；锯成的小正方体的棱长是3厘米，可以锯成5250块；锯成的小正方体的棱长是15厘米，可以锯成42块。

难题点拨

有三根小棒，分别长12厘米、44厘米、56厘米。要把它们截成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米?一共可以截成多少根小棒?

解题分析：这道题实际是求12，44和56的最大公因数，用短除法求出这三个数的最大公因数。

12，44和56的最大公因数是:2×2＝4

因此，每根小棒最长是4厘米。

长12厘米的小棒可以截成3根，长44厘米的小棒可以截成11，长56厘米的小棒可以截成14根，一共可以截成3 11 14＝28(根)

答:要把它们截成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒最长是4厘米，一共可以截成28根小棒。

难题点拨

幼儿园阿姨给小朋友分苹果，如果把167个苹果平均分给小朋友，还剩下5个；如果把111个苹果平均分给小朋友，还剩下3个；如果把66个苹果平均分给小朋友，还剩下12个。请你算一算，幼园最多有多少个小朋友?

解题分析：根据题中的条件，如果把167－5＝162(个)苹果平均分给小朋友，应该刚好分完，没有剩余；同样，如果把111－3＝108(个)苹果平均分给小朋友，也应该刚好分完，没有剩余；把66-12＝54(个)苹果平均分给小朋友，也应该刚好分完，没有剩余。

这样，幼儿园的小朋友数应该是162，108和54的公因数，又因为求“最多有多少个小朋友”，所以就是求162，108和54的最大公因数。108和54的最大公因数是54，所以幼儿园最多有54个小朋友。

答:幼儿园最多有54个小朋友。

难题点拨

一个林场有男职工96人，女职工72人，在一次劳动中分成小组，要求每个小组的男职工人数相等，女职工人数也相等。最多能分成多少个小组?每个小组最少有多少人?

解题分析：题中男职工96人，女职工72人，分组，要求分的组最多，也就是求96和72的最大公因数，用短除法求出最大公因数是2×2×2×2×3＝24，也就是最多可以分24个组。

每组有男职工：96÷24＝4人

每组有女职工：72÷24＝3人。

答：最多可以分成24组，每组最少有男职工4人，女职工3人。

难题点拨

两个两位数的乘积是1734(两个数不是倍数关系)，它们的最大公因数是17。求这两个数。

解题分析：这个题目中我们可以设这两个数分别是a×17和b×17。由题中条件可以列出以下关系式：

(a×17)×(b×17)＝1734

a×b＝1734÷17÷17＝6

因为a，b两个数不存在倍数关系，所以a＝2，b＝3。那么a×17＝34，b×17＝51。

答：这两个数分别是34和51。

1.一张长方形纸，长是32分米，宽是12分米，要把它裁成面积最大的小正方形纸片，而且不能有剩余，裁成的小正方形纸片的面积是多少平方分米?可以裁成多少片?

2.一块长方形玻璃，长是12分米，宽是8分米，要把它裁成同样大小的小正方形玻璃(边长均为整分米数)，不许有剩余，不计损耗。裁成的小正方形玻璃的边长是多少?可以裁成多少块?

3.一个长方体木块，长是2.7分米，宽是1.8分米，高是1.5分米。要把它锯成大小相等的小正方体木块，不许有剩余，小正方体木块的棱长最大是多少分米?

4.一根长方体木料，长是105厘米，宽是63厘米，高是42厘米，锯成同样大小的小正方体，如果不计损耗，锯完后木料不许有剩余，锯成的小正方体木块的棱长是大于1厘米的自然数。可以有几种不同的锯法?每种锯法中小正方体的棱长是多少?分别可以锯成多少块?

5.一块长54厘米、宽27厘米、高18厘米的长方体铁块，要切割成同样大小的小正方体，如果不计损耗，切割完后铁块不许有剩余，切割成的小正方体铁块的棱长是大于1厘米的自然数。可以有几种不同的切割方法?每种切割方法中小正方体的棱长是多少?分别可以切割成多少块?

6.有一根长方体木料，长是120厘米，宽是40厘米，高是20厘米，如果要把这根木料锯成棱长是10厘米的小正方体，可以锯成多少块?

7.有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米、320厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米?

8.有三根木料，分别长12分米、18分米、24分米，把这三根木料分别截成同样长的小段，每小段木料最长是多少分米?一共可以截成多少段?

9.某市有一个三角形公园，三边长分别为498米、612米、582米。计划每隔若干米植一棵松树，并且每相邻两棵之间的距离要最远。问:至少要植松树多少棵?

10.一个数，不知道是多少，56除以它余2，110除以它余2，138除以它余3。这个数最大是多少?

11.美术老师买了一些铅笔，打算把它们平均分给美术小组的同学们，拿54支铅笔来分，结果余下了3支，拿70支铅笔来分，结果余下了2支。你能知道这个美术小组有多少个学生吗?

12.用某数去除600余5，去除813余8，去除844余4。这个数最大是多少?

13.把一个棱长是12厘米的正方体木块分割成棱长是4厘米的小正方体，可以分多少块?

14.有两种钢筋，第一种长180厘米，有6根；第二种长240厘米，有1根。现在要锯成每段最长且相等的小段，不能浪费钢筋，一共可以锯成多少段?

15.上海路中学召开代表大会，有教师代表32人，学生代表40人，职工代表24人，要编成若干组进行讨论，编组时各方代表人数要相等，最多能编几组?每组有各方代表各几人?

16.ー条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙两村相距120米，乙、丙两村相距125米。现在准备在甲、丙两村之间的路的两边栽上柳树，并且在甲、乙、丙三个村子的村口都要栽上树，要求相邻两棵树之间的距离相等。问:一共可以栽多少棵树？

17.有339个苹果、259个梨子、214个橘子，正好分成每份同样多的礼物后，草果多3个，梨子多7个，橘子多4个，这些水果最多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中，三种水果各有多少个?

18.工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个;第二批加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6个;第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。这批工人最多有多少人?

所有题目答案如下：

1.16平方分米，24片

2.有三种不同的裁法。

第一种:如果裁成的小正方形的边长是1分米，可以裁成(12÷1)×(8÷1)＝96(块);

第二种:如果裁成的小正方形的边长是2分米，可以裁成(12÷2)×(8÷2)＝24(块);

第三种:如果裁成的小正方形的边长是4分米，可以裁成(12÷4)×(8÷4)＝6(块)。

3、0.3分米

4、可以有三种不同的锯法。

第一种：小正方体的棱长是3厘米，可以锯成(105÷3)×(63÷3)×(42÷3)＝10290(块)

第二种：小正方体的棱长是7厘米，可以锯成(105÷7)×(63÷7)×(42÷7)＝810(块)

第三种：小正方体的棱长是3×7＝21(厘米)，可以锯成(105÷21)×(63÷21)×(42÷21)＝30(块)。

5、有两种不同的切割方法。

第一种：棱长3厘米，可以切割成(54÷3)×(27÷3)×(18÷3)＝972(块)

第二种:棱长3×3＝9(厘米)，可以切割成

(54÷9)×(27÷9)×(18÷9)＝36(块)。

6、(120÷10)×(40÷10)×(20÷10)＝96(块)

7、40厘米

8、6分米，12÷6 18÷6 24÷6＝9(段)

9、282棵

10、27

11、17个

12、35

13、(12÷4)×(12÷4)×(12÷4)＝27(块)

14、22段

15、(32，40，24)＝8(组)，每组中教师有32÷8＝4(人)，学生代表有40÷8＝5(人)，职工代表有24÷8＝3(人)

16、100棵

17、339－3＝336(个)。

259－7＝252(个)，

214－4＝210(个)

(336，252，210)＝42(份)

每份中，苹果:336÷42＝8(个)，

梨:252÷42＝6(个)，

橘子:210÷42＝5(个)

18、

2100－7＝2093(个)

1800－6＝1794(个)

1600－13＝1587(个)

(2039，1794，1587)＝23

答：这批工人最多有23人。