今天解答一下在本市高三期末考试中出现的一道函数性质问题，这个问题吵得不可开交，网上给的答案五花八门错误百出，甚至在搜题软件上给出的答案也是错的。

至于为什么会出现争论是因为有人把抽象函数具体化，从具体函数上分析抽象函数，但从抽象函数本身去分析又会得到与具体函数不同的解释方式，说到底原因在于对函数的定义不理解，例如f(2x 1)和函数f(x)是同一函数吗？有人说若x∈R时利用换元法t=2x 1，t∈R，此时f(t)和f(x)是同一函数，同一函数的判定要求定义域和对应法则相同，这两函数对应法则明显不同，函数是一种对应关系，若两函数是同一函数，则给出特定的x，则对应的y也相同，这两函数显然不同，即便利用特定函数表达式，两函数也不同，所以不要盲目换元，抽象函数的性质最好从图像以及图像平移上来考虑。

本文全以偶函数的角度分析：

1.若f(x)为偶函数，则f(x 1)关于x=-1对称，f(x)满足f(-x 1)=f(x-1),思考平移即可。

2.若f(x 1)是偶函数，则f(x 1)整体关于x=0对称，f(x 1)由f(x)向左平移1单位得来，所以f(x)关于x=1对称，满足f(-x 1)=f(x 1)

3.若f(x)为偶函数，则f(2x)也是偶函数，同样关于x=0对称，要明白f(x)和f(2x)图像的关系，即对应同一个y值时，f(2x)对应的x是减半的，即纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，若f(x)对称轴为x=2，则f(2x)的对称轴为x=1,反之，横坐标扩大，对称轴也会发生变化，如果不理解可参考三角函数的对称轴。

4.若f(x)为偶函数，则f(2x 1)关于x=-1/2对称，从函数图像的角度分析：

step1.f(x)→f(2x)，f(2x)依旧为偶函数，f(2x)关于x=0对称

step2.f(2x)→f(2x 1),图像向左平移1/2个单位，平移后f(2x 1)图像关于x=-1/2对称

5.基于上面的扩展，若f(x 1)为偶函数，则f(2x 1)关于x=0对称，还是从图像的角度分析：

step1.f(x 1)为偶函数，则f(x)关于x=1对称

step2.f(x)→f(2x)，横坐标减半，f(2x)关于x=1/2对称

step3.f(2x)→f(2x 1),图像向左平移1/2单位，所以f(2x 1)关于x=0对称

6.若f(2x 1)为偶函数，则f(x)关于x=1对称，这是最容易迷惑的一种，从图像分析：

step1.f(2x 1)→f(2x)，图像向右平移1/2单位，f(2x)关于x=1/2对称

step2.f(2x)→f(x)，横坐标加倍，f(x)关于x=1对称

若从函数表达式上分析：f(2x 1)为偶函数，则f(-2x 1)=f(2x 1),令t=2x，则f(1-t)=f(1 t),即f(t)关于t=1对称，即f(2x)关于2x=1即x=1/2对称，f(x)关于x=1对称

理解以上六种情况对应的对称轴，特别是第六种情况，给出此次本市期末考试的单选题：

分析：f(2x-2)为偶函数，则f(x)关于x=-2对称；f'(x-1)为偶函数，则f'(x)=g(x)关于x=-1对称，f'(x)=3x(ax 2)，可知x=0和x=-2/a为两极值点，在给定区间内导函数关于x=-1对称，则a=1,将f(-1)=1代入可求得b=-1

接下来判断f(x)的周期，目前只知道f(x)在[-4,0]上的图像和解析式，x=-2为对称轴，可通过三次函数的拐点求出函数在(-2,0)上的拐点，即为对称点，求得对称点横坐标为x=-1，所以函数周期为4，后续可解，这也是为什么函数以三次函数的形式出现了，有个误区，有学生认为x=0是函数的极值点，因此x=0也是对称点，这一点是不严谨或者是错误的，极值点并不一定是对称轴，只是在本题中恰好是而已。

本题特别怪异的地方是即便对称轴求反了，周期按照不正确的方式判定，答案也是正确的，出题人在题目设置上有问题，但依旧有参考价值，也希望借此读者能明白涉及平移伸缩的抽象函数对称性问题。