出品：科普中国
制作：张昕（北京大学心理与认知科学学院副教授 博士生导师）
监制：中国科学院计算机网络信息中心
前几天我外出办事的时候，夫人给我发了一条微信问："你平时都是怎么给孩子辅导算术题的呀？我今天辅导了一会儿，感觉要气出脑溢血了。"
我连忙问："怎么了？"
她说："今天一晚上就跟9-3=?杠上了，他一会儿说等于0，一会儿说等于8，一会儿说等于5，就10个数字来回瞎猜，我这会儿气得太阳穴都疼。"
我说："嗐！我还以为多大的事儿呢！这多正常啊，不必焦虑。"
她说："这还正常？五岁多的人了，10以内的加减法都不会？"
我说："不不，我们得先明确一点——他只是不会10以内的减法，加法他是会的。因为减法咱不是没教过吗？"
她说："可是，可是，这还用教吗……他都知道3 6等于9，为什么不知道9-3等于6呢？他知道8 3等于11，为什么不知道9-3不等于8呢？是不是没用心？"
我说："呐，你有所不知，小孩子明白3 6=9，真不一定就能倒推9-3=6。减法得从头教，而且得从5以内的小数教起，也就是从4-1教起，不能一上来就问9-3等于多少。否则你这不是走路还没学会，就想叫他跑吗？"
她说："原来是这样啊！不瞒你说，我其实一上来问的是15-7……看到了他一脸懵逼的表情，我才降低难度问9-3的……因为我看他明明都会算8 7=15了，怎么15-7=8就不会呢……所以是我错了！不是他不用心！我听你这么一说，心里好内疚啊……"
我说："是啊，不是孩子笨，也不是孩子不用心，而是儿童发展的自然规律就还没到那一步呢。你听我的，今天先别教了，明天从5以内的减法教起。"
仅为表情包效果，并没有真的打孩子（图片来源：作者自制）
如果要问一位成年人，加法和减法是什么关系？我相信所有的人都会向我投来关爱智障的眼神——他们是逆运算的关系，这还用问吗？
但是如果你问一个5岁多的儿童，加法和减法是什么关系？那他们还真不知道加和减之间的这种"互逆"关系（前提是以前没有教过的，如果是3岁就开始教的那种不在此讨论之列）。
而这一点最早是由著名的发展心理学家皮亚杰（Piaget）发现的。他的认知发展理论提出，2-6岁的孩子正处于前运算阶段，其一个重要特点就是思维的不可逆性。直到具体运算阶段（6–11岁），他们才发展出可逆性的思维能力。
在他1977年的一项研究中，他们找了一批孩子，年龄在6-10岁之间，让他们自己先选定一个数字a，不要告诉实验者。接着他们需要计算出（a 3）x 2的值，并报告给研究者，接着研究者会根据这些孩子算出的结果值，倒推计算出来a是什么，并且告诉孩子们。
然后，研究者就问孩子们："你猜猜我为啥能知道你最初选的是什么数字呢？"
结果发现，6岁组的孩子们对此的表情都是
我的妈呀！太神奇了！他们怎么知道的呢？难道这就是见证奇迹的时刻？
而年龄稍大的孩子就没那么好蒙了，他们能够大概有一些猜测，但对于逆运算这个概念还是没有确切的理解。（当然了，由于皮亚杰这个实验中，问题设置有点太过复杂，其结果可能也会受到孩子们的运算能力的影响。）
后来，发展心理学家们进行了越来越多类似的但控制得更加精巧的实验。结果也基本支持了皮亚杰的理论——随着孩子年龄的提升，他们会对加减法之间的这种互逆关系理解越来越深刻。
当然，实验结果和皮亚杰的结论稍微有些出入：主要在于获得可逆性思维的年龄，已经提前到了5岁。
甚至如果利用实物，3、4岁的孩子也表现出一些可逆性——这也是为什么我家孩子更小的时候，如果我问孩子8 7-7等于多少，他不懂；但是夫人问他"你有8块糖，我给了你7块，然后又拿走7块，你还有几块"，他立马答出"8块"的原因。
类似的例子可见1999年，Bryant等人让一批孩子试着解决a b-b（互逆运算问题）和a a-b（控制组问题），来看他们的问题解决能力。结果发现，5岁组孩子的表现在这两类问题上都要差于6岁组的孩子，也就表明了，5岁孩子虽然已经出现了一些互逆关系理解的思维萌芽（遇到实物运算时懂得逆推），但还不能很好地把实物计数中的这种逆推思维，运用到抽象数字问题的运算上来。
回到开头所说的9-3等于多少的问题，"9-3"其实就是"6 3-3（a b-b）"，但前者多了一道中间步骤（将9拆成6 3），所以9-3比6 3-3更难。与此同时，孩子又不能很好理解互逆关系，3 6=9和9-3=6之间的关系就更复杂了，这完全是两个问题嘛，他哪能想到9可以先拆成6 3呢，因为这还需要额外的工作记忆的参与。
那家长们该怎么做呢？一字记之曰——教！
这里不光是教如何死记硬背地做加减法，而是教其中的逻辑，而且结合5、6岁儿童所处的认知发展阶段——前运算阶段的特点，可以配合一些具体实物来让他们理解所谓可逆性的特点。
例如要去理解a b-b=a这个操作，可以用上面的这种图形的方法，而非完全用抽象的数字概念。这个袋子里有7颗豆子，先放进去5颗，再拿走5颗，请问袋子里还剩下几颗豆子？
听完我的这一番苦口婆心，夫人表示很内疚自己跟孩子着急了，晚上抱着娃道歉说："对不起，我错了。"
娃说："我再生一会儿气，明天就原谅你。"
我说："我看你这一晚上玩得挺开心的呀，没发现你在生气啊～"
娃说："因为我把生气系在直升机上，飞到高高的天空中，放在一朵云里面，你们都不会知道的。"
听完这些话，夫人说她觉得更内疚了。
我安慰她说："你看啊，你老担心孩子数学不好。但是，首先，他的数学水平虽然不像我小时候那样明显超出同龄人，却也是符合他年龄特征的正常情况；其次，他的语言表达能力很好，三言两语就给你哄得五迷三道的。我始终相信人只要有优点，就有机会好好发展，只要咱们家长肯用心引导，你看，这下你还担心什么呢。"
夫人陷入沉思说："当初看上你的学霸基因，没想到学霸基因一点儿也没遗传给孩子；当初看上你的脸，没想到你的脸老得这么快……我怎么越想越觉得亏了呢！气哭！"
我："？？？为什么你的发散性思维最后总能找茬儿找到我头上来……"
图片来源：作者自制
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