厄米特矩阵的共轭转置与自身相同。因此，它具有对称矩阵所具有的所有性质。

• 厄米特矩阵的一个例子

在这篇文章中，我主要讨论的是实数情况，即对称矩阵，以使分析变得简单一些，同时在数据科学中，我们遇到的也大都是实矩阵，因为我们要处理现实世界的问题。

本节将介绍对称矩阵的三个最重要的性质。它们涉及这些矩阵的特征值和特征向量的行为，这是区别对称矩阵和非对称矩阵的基本特征。

性质1. 对称矩阵有实数特征值

这可以很容易地用代数法证明（正式的、直接的证明，而不是归纳法、矛盾法等）。首先，快速回顾一下特征值和特征向量。

• 矩阵A的特征向量是，在A作用于它之后，方向不变的向量。方向没有改变，但向量大小可以改变。
• 实数特征值给我们提供了线性变换中的拉伸或缩放信息，不像复数特征值，它没有 "大小"。

向量被缩放的比例是特征值，我们用λ表示。因此我们有：

• 式1.1

证明是相当容易的，但有一些重要的线性代数知识，所以我们还是要一步一步地来。

1.1通过x的共轭转置xᴴ得到：

• 式1.2

需要注意的是，λ是一个标量，这意味着涉及λ的乘法是可交换的。因此，我们可以把它移到xᴴ（x的转置，上标H可能不显示）的左边：