• 式1.11和式1.12

现在我们需要证明式1.10。让我们试着把x_1和x_2放在一起-。在左边用 (Ax₁)ᵀ乘以x₁ᵀ：

• 式1.13

在式1.13中，除了对称矩阵的特性外，还用到了另外两个事实。

1. 矩阵乘法符合结合律（可以用结合律运算）
2. 矩阵-标量乘法是可交换的（可以自由移动标量）。

然后，由于点积是可交换的，这意味着x₁ᵀx₂和x₂ᵀx₁是等价的，所以我们有：

• 式1.14

其中x_1∙x_2表示点积。如果λ_1≠λ_，那么x_1∙x_1=0，这意味着这两个特征向量是正交的。如果λ_1 = λ_2，则有两个不同的特征向量对应于同一个特征值。由于特征向量在(A-λI)的零空间（表示为N(A-λI)），当一个特征向量对应于多个特征向量时，N(A-λI)的维数大于1。在这种情况下，我们对这些特征向量有无限多的选择，我们总是可以选择它们是正交的。

显然，有些情况下，实数矩阵有复数特征值。这发生在旋转矩阵上。为什么会这样呢？假设Q是一个旋转矩阵。我们知道，特征向量在被Q作用后不会改变方向。但如果Q是一个旋转矩阵，如果x是一个非零向量，x怎么可能不改变方向呢？结论是，特征向量必须是复数（好好想一想吧）。

二维空间中的旋转矩阵R(θ)如下所示：

• 旋转矩阵

R(θ)将一个向量逆时针旋转一个角度θ，它是一个具有复数特征值和特征向量的实矩阵。

性质3. 对称矩阵总是可对角化的（谱定理）

这也与对称矩阵的其他两个特性有关。这个定理的名字可能让人困惑。事实上，一个矩阵的所有特征值的集合被称为谱（ spectrum）。另外，我们可以这样想。

特征值-特征向量对告诉我们，在给定的线性变换之后，一个向量在哪个方向上被扭曲。

如下图所示，经过变换后，在v_1的方向上，图形被拉伸了很多，但在v_2的方向上却没有很大的拉伸。