由于追踪每个炭黑颗粒在模拟中是不可能的，因为计算成本太高，所以在炭黑建模中采用了几种统计解决方案算法，包括蒙特卡洛方法、区间法和矩法，以满足不同的应用需求。

在区间法中，炭黑颗粒的尺寸范围被分成多个区间，然后为每个区间求解离散化的颗粒尺寸分布，以获取完整PSD的预测结果，这对计算资源有很大要求。

由于其高计算效率，矩法在发动机模拟中被广泛应用于炭黑形成的统计建模。在矩法中，炭黑颗粒具有质量mi的数密度的r阶矩通过将n(mi)乘以mi^r后求和得到：

我们提出了一种高效的方法，称为矩投影方法 (MPM)，可以直接求解矩传输方程，并使用此前的方法推导出最小颗粒的数量，从而得到MOM的闭合。

在MPM中，通过假设将整个颗粒分为几个质量类别，来近似表示真实的颗粒尺寸分布，然后其r阶经验矩M̃r被定义为：

矩投影方法利用多个加权粒子来获得矩源项的闭合性。在MPM中，第一个类别的加权粒子质量预先定义为最小颗粒质量，即m1，并且矩传输方程可以表示为：

将使用本模型在撞击管中以碳摩尔浓度为7.89 mol/cm3、压力为25 bar、温度为1750 K和当量比为5的条件下，n-庚烷与O2/Ar混合得到的炭黑产率、数密度和体积粒径的计算结果与实测数据进行了比较。

同样地，我们使用炭黑折射率测量计算炭黑体积分数，并指出折射率值在确定炭黑体积分数时是一个非常重要的不确定度来源，可能导致炭黑产率确定中的差异超过50%。

此外，在本研究中，炭黑颗粒被建模为球形颗粒。在球形假设下，我们测量的颗粒直径略小于波长。