高中刚接触自然对数的底数 e 时就觉得这货很奇怪。e≈2.71828…，是一个无理数，很多人都不禁要问它为什么约等于 2.71828…，这其中有什么深层的原理吗，e 的神奇之处，现在我们就来简单聊聊……

e的神奇可以从复利说起。复利是一种利息的计算方法，在存钱时把上期末的本利和作为下一期的本金，又计入下一期计算利息。比如一个银行的年利率是 50%（目前还没这种银行），存100元钱，一年后的本利和是 150 元；存两年按复利计算的本利和是 元。现在假设有一个银行，它的年利率是 100%（这种银行更不存在），我们存入 1 元钱，一年后的本利和是2元。我们知道存一年本利和是本金的（1 1）=2倍，则存半年效果是本利和变成本金的倍，所以若银行每半年付利息，我们可以把利息马上存入，1年末的本利和是元，存4个月效果是本利和变成本金的倍，所以若银行每4个月就付利息，利息生利息，年底的本利和是元。

一年365 天，若银行愿意天天付利息，这样利滚利的余额2.71456748202元，假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共31536000 秒，利滚利的余额2.7182817813元。所以能够发现，1元钱存1年，在年利率 100% 情况下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e≈2.71828…。用极限语言描述就是：

所以，这样存钱即使累死也没多挣几个钱。

我们把自然增长率的极限称为e,即在年利率 100% 情况下，存钱的最高本利和就是本金的e（约为2.71828…）倍。

那自然对数又是怎么回事呢？

我们先从一个虚构的故事说起：有一土豪要去银行存款，比如存10万元。银行经理推荐他投资理财产品，说有很高的年利率，然后说按照指数运算方法……，银行经理巴拉巴拉讲了一通。但土豪的数学只有小学水平，听不懂有点烦，就问投资多长时间能有一成收益，两成收益，翻倍的收益？经理有点懵，这土豪不按常理出牌！一般人都是根据存款时间问收益，例如收益第 1 年多少、第 2 年多少、第 3 年多少..... 土豪居然逆向思维，根据收益问时间，多少年一成，多少年2成，多少年翻倍！不愧是老板，不问过程，只问结果！于是经理就从第 1 年开始算，把 10 年内每年的收益都算出来，列成一个收益列表然后再找出收益最接近一成，两成，及翻倍的年份指给土豪，土豪一看第 4 年、第 7 年、第 10 年就大概超过预期收益，非常高兴！经理用这张表查找收益，再找到最接近收益的大体年份的过程，其实就是指数运算的逆运算，是最简单的对数运算，这个表就是对数表的简洁形式。

为了认识对数概念，我们再来看看《人教版新课标高中数学A版必修1》第二章 2.2 对数函数小节课后阅读材料《对数的发明》：