这应该是高中数学书上最难懂的一个课后阅读材料，没有数学分析基础的高一学生很难明白其中的道理。这还要从纳皮尔的经历说起。纳皮尔是天文学家、数学家，在计算行星轨道数据时，他被浩瀚的计算量所折磨。纳皮尔提出对数就是为了计算的简便。为理解对数计算的优势，我们通过案例来了解，下面的表格里有两个数列：
第 1 行是自然数，他们是等差的；第 2 行是 2 的倍数，他们是等比的；要计算第 2 行的等比数列中任意两个数的乘积，例如 16×64；先到第 1 行的等差数列中寻找对应的数，16 对应 4，64 对应 6；然后做加法，4 6=10，再查找10所对应的等比数列的数1024；这样得到计算结果就是16×64=1024。
纳皮尔不是一般人，他用了 20 年的时间，进行了数百万次的计算，编写了用于对数运算的对数表，堪称耐心坚持的战斗机！这也是典型的牺牲了自己的头发成就别人的头发（不知他当年埋头思考是否掉了许多头发）。有趣的是，历史不走寻常路，对数的发现居然早于指数！
1614年，纳皮尔发明了对数和对数表。
1637年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20多年。
1770年，欧拉才第一个指出对数源于指数，这时对数和指数已经发现一百多年了。法国数学家和天文学家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）说：一个人的寿命如果不拿他在世上的时间长短来计算，而是拿他一生中的工作多少来衡量，那么可以说，对数的发明等于延长了人类的寿命。恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为十七世纪数学的三个“最重要的数学方法”。
在没有计算器的年代纳皮尔的运算到底有多繁琐呢，为理解纳皮尔的艰辛，我可以举一个例子，精确到十万分位，手算lg2的近似值：
lg2 =0.1×lg（2^10) =0.1×lg1024 =0.1×(3 lg1.024) =0.3 0.1×lg1.024 =0.3 0.01×lg(1.024^10) =0.3 0.01×lg1.2676506 =0.3 0.001×lg(1.2676506^10) =0.3 0.001×lg10.71508607 =0.3 0.001×(1 lg1.071508607) =0.3 0.001 0.001×lg1.071508607 =0.3 0.001 0.0001×lg(1.071508607^10) =0.3 0.001 0.0001×lg1.995063117 =0.3 0.001 0.00001×lg(1.995063117^10) =0.3 0.001 0.00001×lg999.002093 =0.3010 0.00001×lg999.002093 ≈0.3010 0.00001×3=0.30103
这只是一个对数值的计算，所以要制作一套对数表，经历的运算可想而知，敬佩纳皮尔的恒心和毅力！
我们再来看看前面纳皮尔用运动观点描述的对数定义（实际上是为底的对数，为方便理解这里修改为以e为底的对数定义）：
如图：若P、Q两点分别以相同的初速度（初速度为1，每个单位时间内运动单位长度），在两具有相同单位长度的数轴上运动.点Q沿数轴CD（C为原点）作匀速运动，CQ=x；点P沿数轴OB（O为原点）从A点开始运动，它在任何一点的速度值等于它离O点的距离（OP=y）。令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的对数。这里x其实是y的自然对数（即底数为e）,当CQ长为1时，OP长度为e。P点的运动特点是在每一点处以自己的运动路程为速度，即在P点的路程-时间（s-t）函数中，每一点的函数值为该点的变化率（速度就是路程对时间的变化率）。
函数图象上每一点的变化率（即导数值）为该点处的函数值，而且这货任意求导后还是它自己，永远以自身为变化率。
